Question

（2013•閘北區(qū)二模）某糧倉(cāng)是如圖所示的多面體，多面體的棱稱(chēng)為糧倉(cāng)的“梁”．現(xiàn)測(cè)得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AR、BF、CF、DE分別與相交的底梁所成角均為60°．
（1）求腰梁BF與DE所成角的大�。�
（2）若不計(jì)糧倉(cāng)表面的厚度，該糧倉(cāng)可儲(chǔ)存多少立方米糧食？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)異面直線所成角的概念，過(guò)E作EK∥FB，連接DK，則DEK為異面直線DE與FB所成的角，然后通過(guò)求解三角形即可得到兩異面直線所成角；
（2）要求原多面體的體積，可以把原多面體分割成我們熟悉的柱體及椎體求體積分別過(guò)E，F(xiàn)作兩底梁的垂線，連接兩垂足后分割完成，然后直接利用柱體及錐體的體積求解．

解答：解：（1）如下圖，過(guò)點(diǎn)E作EK∥FB交AB于點(diǎn)K，
則∠DEK為異面直線DE與FB所成的角，

∵DE=FB=4，EA，EK與AB所成角都是60°，∴AK=4，∴DK=4

2

，
在三角形DEK中，∵DE²+EK²=4²+4²=32=DK²，∴∠DEK=90°，
∴腰梁BF與DE所成的角為90°；  
（2）如上圖，過(guò)點(diǎn)E分別作EM⊥AB于點(diǎn)M，EN⊥CD于點(diǎn)N，連接MN，則AB⊥平面EMN，
∴平面ABCD⊥平面EMN，過(guò)點(diǎn)E作EO⊥MN于點(diǎn)O，則EO⊥平面ABCD
由題意知，AE=DE=AD=4，
AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=2

3

，
∴O為MN中點(diǎn)，∴EO=2

2

，即四棱錐E-AMND的高為2

2

，
同理，再過(guò)點(diǎn)F作FP⊥AB于點(diǎn)P，F(xiàn)Q⊥CD于點(diǎn)Q，連接PQ，
原多面體被分割為兩個(gè)全等的四棱錐和一個(gè)直棱柱，且MP=16-2-2=12．
∴多面體的體積V=2V_E-AMND+V_PQF-MNE
=2×

1

3

×2×4×2

2

+

1

2

×4×2

2

×12=

176 2

3

．
答：該糧倉(cāng)可儲(chǔ)存

176 2

3

立方米的糧食．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力，考查了利用割補(bǔ)法求幾何體的體積，屬中檔題．