Question

7．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）給出定義：設f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導數(shù)，f''（x）是f′（x）的導數(shù)．若方程f''（x）=0有實數(shù)解x₀，則該點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．某同學經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心．若$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$
請你根據這一發(fā)現(xiàn)，
（1）求函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}{x^2}+3x-\frac{5}{12}$的對稱中心；
（2）計算$f（\frac{1}{2017}）+f（\frac{2}{2017}）+f（\frac{3}{2017}）+…+f（\frac{2016}{2017}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由題意對已知函數(shù)求兩次導數(shù)可得圖象關于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，（2）由（1）得：f（x）+f（1-x）=2，即可得到結論．

解答 解：（1）函數(shù)的導數(shù)f′（x）=x²-x+3，
f″（x）=2x-1，
由f″（x₀）=0得2x₀-1=0
解得x₀=$\frac{1}{2}$，而f（$\frac{1}{2}$）=1，
故函數(shù)f（x）關于點（$\frac{1}{2}$，1）對稱，
（2）由（1）得：f（x）+f（1-x）=2，
故設f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=m，
則f（$\frac{2016}{2017}$）+f（ $\frac{2015}{2017}$）+…+f（ $\frac{1}{2017}$）=m，
兩式相加得2×2016=2m，
則m=2016．

點評 本題主要考查導數(shù)的基本運算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．