Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1+1，則a₁C

0 n

+a₂C

1 n

+a₃C

2 n

+…+a_n+1C

n n

的最簡表達式為

 

．

Answer 1

考點：二項式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項式定理

分析：要求的式子即（1+1）C

0 n

+（3+1）C

1 n

+（3²+1）C

2 n

+…+（3ⁿ+1）C

n n

，即（C_n⁰+3C_n¹+3²C_n²+…+3ⁿC_nⁿ）+（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ），逆用二項式定理求得結(jié)果．

解答： 解：a₁C

0 n

+a₂C

1 n

+a₃C

2 n

+…+a_n+1C

n n

=（1+1）C

0 n

+（3+1）C

1 n

+（3²+1）C

2 n

+…+（3ⁿ+1）C

n n

=（C_n⁰+3C_n¹+3²C_n²+…+3ⁿC_nⁿ）+（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=（1+3）ⁿ+2ⁿ =4ⁿ+2ⁿ．
故答案為：4ⁿ+2ⁿ．

點評：本題為一道典型的逆向利用二項式定理來解答的題目，合理的拆項是解答本題的關(guān)鍵．解答本題時若不能合理拆項又或者想不到去拆項將會無從下手，所以對這種題型同學(xué)們要能做到舉一反三，要具備解答這類題目的知識儲備才行，屬于中檔題．