Question

某地設計修建一條26公里長的輕軌交通路線，該輕軌交通路線的起點站和終點站已建好，余下工程只需要在該段路線的起點站和終點站之間修建輕軌道路和輕軌中間站，相鄰兩輕軌站之間的距離均為x公里．經預算，修建一個輕軌中間站的費用為2000萬元，修建x公里的輕軌道路費用為（500x²+40x）萬元．設余下工程的總費用為y萬元．
（Ⅰ）試將y表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）需要修建多少個輕軌中間站才能使y最��？其最小值為多少萬元？

Answer 1

解：（I）設需要修建k個輕軌中間站，則（k+1）x=26，即k=-1．…
∴y=2000k+（k+1）（500x²+40x）=2000×（-1）+（500x²+40x）
=+13000x-960…
因為x表示相鄰兩站之間的距離，則0＜x≤26．
故y與x的函數(shù)關系是y=+13000x-960（0＜x≤26）． …
（II）y=+13000x-960≥2-960=51040萬元，…
當且僅當=13000x，即 x=2時取等號．
此時，k=-1=-1=12． …
故需要修建12個軌道中間站才能使y最小，其最小值為51040萬元． …
分析：（I）設需要修建k個輕軌中間站，則（k+1）x=26，然后根據余下工程的總費用為修建輕軌中間站的費用與修建輕軌道路費用的和，從而可將y表示成x的函數(shù)；
（II）利用基本不等式可求出最小值，根據等號成立的條件可求出相應的x與k的值．
點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應用，以及基本不等式在最值問題中的應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．