Question

某地設(shè)計(jì)修建一條26公里長(zhǎng)的輕軌交通路線，該輕軌交通路線的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站已建好，余下工程只需要在該段路線的起點(diǎn)站和終點(diǎn)站之間修建輕軌道路和輕軌中間站，相鄰兩輕軌站之間的距離均為x公里．經(jīng)預(yù)算，修建一個(gè)輕軌中間站的費(fèi)用為2000萬(wàn)元，修建x公里的輕軌道路費(fèi)用為（500x²+40x）萬(wàn)元．設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬(wàn)元．
（Ⅰ）試將y表示成x的函數(shù)；
（Ⅱ）需要修建多少個(gè)輕軌中間站才能使y最��？其最小值為多少萬(wàn)元？

Answer 1

解：（I）設(shè)需要修建k個(gè)輕軌中間站，則（k+1）x=26，即k=-1．…
∴y=2000k+（k+1）（500x²+40x）=2000×（-1）+（500x²+40x）
=+13000x-960…
因?yàn)閤表示相鄰兩站之間的距離，則0＜x≤26．
故y與x的函數(shù)關(guān)系是y=+13000x-960（0＜x≤26）． …
（II）y=+13000x-960≥2-960=51040萬(wàn)元，…
當(dāng)且僅當(dāng)=13000x，即 x=2時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)，k=-1=-1=12． …
故需要修建12個(gè)軌道中間站才能使y最小，其最小值為51040萬(wàn)元． …
分析：（I）設(shè)需要修建k個(gè)輕軌中間站，則（k+1）x=26，然后根據(jù)余下工程的總費(fèi)用為修建輕軌中間站的費(fèi)用與修建輕軌道路費(fèi)用的和，從而可將y表示成x的函數(shù)；
（II）利用基本不等式可求出最小值，根據(jù)等號(hào)成立的條件可求出相應(yīng)的x與k的值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．