Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1-m-x}{{e}^{x}}$．
（1）求函數(shù)f（x）在[0，2]上得單調(diào)區(qū)間；
（2）當m=0，k∈R時，求函數(shù)g（x）=f（x）-kx²在R上零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，確定導(dǎo)數(shù)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）將m=0代入g（x），令g（x）=0，分離出k，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍，從而判斷出零點的個數(shù)．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{x+m-2}{e^x}$，
當2-m≤0，即m≥2時，x∈[0，2]，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增；
當0＜m＜2時，令f′（x）＜0，得0＜x＜2-m，令f′（x）＞0，得2-m＜x＜2，
所以f（x）在[0，2-m]上單調(diào)遞減，在[2-m，2]上單調(diào)遞增；
當m≤0時，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減．…（5分）
（2）由g（x）=f（x）-kx²=0$⇒\frac{1-x}{e^x}=k{x^2}⇒k=\frac{1-x}{{{x^2}{e^x}}}（x≠0）$，
令$h（x）=\frac{1-x}{{{x^2}{e^x}}}$，$h'（x）=\frac{{{x^2}-2}}{{{x^3}{e^x}}}$，由$h'（x）＞0⇒-\sqrt{2}＜x＜0$或$x＞\sqrt{2}$，
由$h'（x）＜0⇒x＜-\sqrt{2}$或$0＜x＜\sqrt{2}$，
∴h（x）在$（-∞，-\sqrt{2}），（0，\sqrt{2}）$上單調(diào)遞減，在$（-\sqrt{2}，0），（\sqrt{2}，+∞）$上單調(diào)遞增．…（10分）
在x＜0時，當$x=-\sqrt{2}$時，h（x）取得極小值，且$h（-\sqrt{2}）=\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}{e^{\sqrt{2}}}$，
當x→-∞時，h（x）→+∞；x→0時，h（x）→+∞．
在x＞0時，當$x=\sqrt{2}$時，h（x）取得極小值$h（\sqrt{2}）=\frac{{1-\sqrt{2}}}{{2•{e^{\sqrt{2}}}}}＜0$，
當x→0時，h（x）→+∞，x→+∞時，h（x）→0．
綜上結(jié)合圖形得當$k＜\frac{{1-\sqrt{2}}}{{2•{e^{\sqrt{2}}}}}$沒有零點，當$k=\frac{{1-\sqrt{2}}}{{2•{e^{\sqrt{2}}}}}或0≤k＜\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}{e^{\sqrt{2}}}$有一個零點，
當$\frac{{1-\sqrt{2}}}{{2•{e^{\sqrt{2}}}}}＜k＜0$或$k=\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}{e^{\sqrt{2}}}$有二個零點，當$k＞\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}{e^{\sqrt{2}}}$時有三個零點．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．