Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱A₁A=2，
（Ⅰ）證明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求幾何體C₁DABA₁的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接BD交AC于點O，根據(jù)正方形的性質(zhì)，A₁D⊥平面ABCD，易得AC⊥BD，AC⊥A₁D，由線面垂直的判定定理可得AC⊥平面A₁BD，進而根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到AC⊥A₁B
（II）幾何體C₁DABA₁的體積，有兩部分組成，即，分別求出兩個三棱錐的底面積和高，分別計算出它們的面積，即可得到求出幾何體C₁DABA₁的體積．
解答：證明：（Ⅰ）連接BD交AC于點O
∵四邊形ABCD是正方形∴AC⊥BD
又∵AD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥A₁D，A₁D∩BD=D∴AC⊥平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD
∴AC⊥A₁B…（5分）
解：（Ⅱ）
∵AD₁⊥平面ABCD∴AD₁為幾何體A₁-ABD的高
∴…（7分）
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁∴CC₁∥AA₁，CC₁=AA₁
∴四邊形A₁C₁CA是平行四邊形
∴AC∥A₁C₁由（1）得AC⊥平面A₁BD∴A₁C₁⊥平面A₁BD
∴A₁C₁為幾何體C₁-A₁BD的高
∵AD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴BD⊥A₁D
∴…（10分）
∴…（12分）
點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面垂直的性質(zhì)，其中（I）的關(guān)鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，（II）的關(guān)鍵是，將不規(guī)則幾何體體積轉(zhuǎn)化為棱錐體積和．