Question

18．在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x（元）和需求量y（件）之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：

價格x/元	14	16	18	20	22
需求量y/件	56	50	3	1	37

（1）求出y關(guān)于x的線性回歸方程；
（2）請用R²和殘差圖說明回歸方程擬合效果的好壞．
參考數(shù)據(jù)：回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中，$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n（\overline{x}）^{2}}$，$\widehat{a}$=$\widehat{y}$-$\widehat$x，R²=1-$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\widehat{{y}_{i}}）^{2}}{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^5{x_i^2=1660}$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=3992．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，做出變量x，y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法做出線性回歸方程的系數(shù)b，在根據(jù)樣本中心點一定在線性回歸直線上，求出a的值．
（2）求出回歸模型的相關(guān)系數(shù)，作出殘差圖，可判斷回歸模型擬合效果的好壞．

解答 解：（1）由題表中數(shù)據(jù)可得$\overline x=18$，$\overline y=45.4$．
由計算公式得$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}-5\overline x\;•\;\overline y}}}{{\sum_{i=1}^5{x_i^2-5{{\overline x}^2}}}}=\frac{3992-5×18×45.4}{{1660-5×{{18}^2}}}=-2.35$．$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=45.4+2.35×18=87.7$．
故y關(guān)于x的線性回歸方程為$\hat y=-2.35x+87.7$．
（2）列表：

編號	1	2	3	4	5
${y_i}-{\hat y_i}$	1.2	-0.1	-2.4	0.3	1
${y_i}-\overline y$	10.6	4.6	-2.4	-4.4	-8.4

所以$\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}=8.3$，$\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}=229.2$，
相關(guān)指數(shù)${R^2}=1-\frac{{\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-{{\hat y}_i}）}^2}}}}{{\sum_{i=1}^5{{{（{y_i}-\bar y）}^2}}}}=1-\frac{8.3}{229.2}≈0.964$．
因為0.964很接近于1，所以該模型的擬合效果好．
殘差圖如圖：

殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適．

點評 本題考查線性回歸方程，考查最小二乘法，考查預(yù)報值的求法，屬于中檔題．