【題目】如圖,橢圓的上、下頂點分別為, ,右焦點為,點在橢圓上,且.
(1)若點坐標為,求橢圓的方程;
(2)延長交橢圓與點,若直線的斜率是直線的斜率的3倍,求橢圓的離心率;
(3)是否存在橢圓,使直線平分線段?
【答案】(1);(2);(3)存在.
【解析】試題分析:(1)由橢圓的標準方程,可得,進而得到,再把點代入橢圓的方程,即可求解橢圓的標準方程;
(2)由直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,利用根據(jù)與系數(shù)的關系,得到的坐標,再由,化簡即可求解橢圓的離心率.
(3)設與交于點,用直線的方程與聯(lián)立,求解點坐標,再把點的坐標代入橢圓的方程,令,轉(zhuǎn)化為函數(shù)恒成立,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求解結論.
試題解析:(1), , , .
.又, .
, .方程為.
(2): 與聯(lián)立,得,
., .
又, .
, , .
(3): .設與交于點,
由,得.
代入橢圓方程,得,
,令,
得,設,
恒成立, 在上遞增.
又, ,
在存在,使,
存在橢圓,使平分線段.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】根據(jù)某電子商務平臺的調(diào)查統(tǒng)計顯示,參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者的年齡情況如圖所示.
(1)已知[30,40),[40,50),[50,60)三個年齡段的上網(wǎng)購物者人數(shù)成等差數(shù)列,求a,b的值;
(2)該電子商務平臺將年齡在[30,50)內(nèi)的人群定義為高消費人群,其他年齡段的人群定義為潛在消費人群,為了鼓勵潛在消費人群的消費,該平臺決定發(fā)放代金券,高消費人群每人發(fā)放50元的代金券,潛在消費人群每人發(fā)放100元的代金券,現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1 000位上網(wǎng)購物者中抽取10人,并在這10人中隨機抽取3人進行回訪,求此3人獲得代金券總和X(單位:元)的分布列與數(shù)學期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在極坐標系中點C的極坐標為.
(1)求出以點C為圓心,半徑為2的圓的極坐標方程(寫出解題過程)并畫出圖形;
(2)在直角坐標系中,以圓C所在極坐標系的極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立直角坐標系,點P是圓C上任意一點,Q(5,-),M是線段PQ的中點,當點P在圓C上運動時,求點M的軌跡的普通方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】通過研究學生的學習行為,心理學家發(fā)現(xiàn),學生接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間,講座開始時,學生的興趣激增,中間有一段不太長的時間,學生的興趣保持理想的狀態(tài),隨后學生的注意力開始分散,分析結果和實驗表明,用表示學生掌握和接受概念的能力(的值越大,表示接受能力越強),表示提出和講授概念的時間(單位:分),可以有以下公式: .
(1)開講多少分鐘后,學生的接受能力最強?能維持多少分鐘?
(2)開講5分鐘與開講20分鐘比較,學生的接受能力何時強一些?
(3)一個數(shù)學難題,需要55的接受能力以及13分鐘的時間,老師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題?
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【題目】已知函數(shù)f(x)=m-|x-1|-|x-2|,m∈R,且f(x+1)≥0的解集為[0,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c,x,y,z∈R,且x2+y2+z2=a2+b2+c2=m,求證:ax+by+cz≤1.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】下列命題:①集合的子集個數(shù)有16個;②定義在上的奇函數(shù)必滿足;③既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù);④偶函數(shù)的圖像一定與軸相交;⑤在上是減函數(shù)。
其中真命題的序號是 ______________(把你認為正確的命題的序號都填上).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)①f(x)=4x+-5,②f(x)=|log2 x|-()x,③f(x)=cos(x+2)-cosx,判斷如下兩個命題的真假:
命題甲:f(x)在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù);
命題乙:f(x)在區(qū)間(0,+∞)上恰有兩個零點x1,x2,且x1x2<1.
能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號是_____________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4,且位于x軸上方的點,A到拋物線準線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M.
(1)求拋物線的方程;
(2)以M為圓心,MB為半徑作圓M,當K(m,0)是x軸上一動點時,討論直線AK與圓M的位置關系.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖甲,在直角梯形中,,,,,是的中點,是與的交點,將沿折起到的位置,如圖乙.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若平面平面,求點到平面的距離.
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