Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）若a=

1

2

，且關(guān)于x的方程f（x）=-

1

6

x+b在[1，4]上恰有兩個不等的實根，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2（n∈N^*），求證：a_n≤2ⁿ-1．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）設(shè)g(x)=lnx-

x

3

+1，x∈[1，4]，求出函數(shù)的最大值，比較g（1），g（4），即可求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）證明a_n+1+1≤2（a_n+1），可得當n≥2時，0＜

an+1

an-1+1

≤2，0＜

an-1+1

an-2+1

≤2，…，0＜

a2+1

a1+1

≤2，相乘得0＜

an+1

a1+1

≤2n-1，即可證明結(jié)論．

解答： （Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為（0，+∞），f′(x)=-

ax-1

x

(x＞0)，
(0，

1

a

)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，(

1

a

，+∞)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減
當x=

1

a

時，f（x）取最大值f(

1

a

)=-lna…（4分）
（Ⅱ）解：a=

1

2

，由f(x)=-

1

6

x+b得lnx-

x

3

+1=b在[1，4]上有兩個不同的實根，
設(shè)g(x)=lnx-

x

3

+1，x∈[1，4]，g′(x)=

3-x

3x

，x∈[1，3）時，g'（x）＞0，x∈（3，4]時，g'（x）＜0，
所以g（x）_max=g（3）=ln3，
因為g(1)=

2

3

，g(4)=2ln2-

1

3

，g(1)-g(4)=

2

3

-2ln2+

1

3

=1-2ln2＜0，得g（1）＜g（4）
所以b∈[2ln2-

1

3

，ln3)…（8分）
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知當a=1時，lnx＜x-1．
由已知條件a_n＞0，a_n+1=lna_n+a_n+2≤a_n-1+a_n+2=2a_n+1，
故a_n+1+1≤2（a_n+1），
所以當n≥2時，0＜

an+1

an-1+1

≤2，0＜

an-1+1

an-2+1

≤2，…，0＜

a2+1

a1+1

≤2，
相乘得0＜

an+1

a1+1

≤2n-1，
又a₁=1，故an+1≤2n，即an≤2n-1…（12分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查不等式的證明，考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查學生分析解決問題的能力，有難度．