Question

提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）和車流密度x（單位：輛/千米）滿足關(guān)系式：v(x)=

50，0≤x≤20 kx+60，20＜x≤120

（k∈R）．研究表明：當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到120輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時．
（1）求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．

Answer 1

考點：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由橋上的車流密度達(dá)到120輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時，求出k，即可求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）利用f（x）=x•v（x），可得函數(shù)解析式，再分段求最值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意：120k+60=0，解得k=-

1

2

．
故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為v(x)=

50，0≤x≤20 - 1 2 x+60，20＜x≤120

…（4分）
（2）依題意并由（Ⅰ）可得f(x)=

50x，0≤x≤20 (- 1 2 x+60)x，20＜x≤120

當(dāng)0≤x≤20時，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時，其最大值為50×20=1000；
當(dāng)20＜x≤120時，f(x)=-

1

2

(x-60)2+1800，
所以，當(dāng)x=60時，f（x）在區(qū)間[20，120]上取得最大值1800．
綜上所述，當(dāng)車流密度為60輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大，最大值為1800輛/小時．…（10分）

點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查學(xué)生閱讀能力，解題的關(guān)鍵是分段求出函數(shù)解析式．