Question

6．定義在[-2，2]上的奇函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞減，則不等式f（1-x）+f（-x）＜0的解集為[-1，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得到f（0）=0，f（x）在（0，2]上單調(diào)遞減，從而可以得出x＞0時(shí)，f（x）＜0，而x＜0時(shí)，f（x）＞0，并且由原不等式得到f（1-x）＜f（x）．這樣可將x分成：-2≤x≤0，0＜x＜1，和1≤x≤2這幾種情況，然后根據(jù)f（1-x），f（x）的符號(hào)，和f（x）的單調(diào)性便可求得每種情況下原不等式的解，求并集便可得出原不等式的解集．

解答 解：根據(jù)f（x）在[-2，2]上為奇函數(shù)，在[-2，0]上單調(diào)遞減；
∴f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞減；
∴由f（1-x）+f（-x）＜0得，f（1-x）＜f（x）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤1-x≤2}\\{-2≤x≤2}\\{1-x＞x}\end{array}\right.$；
解得$-1≤x＜\frac{1}{2}$；
∴原不等式的解集為$[-1，\frac{1}{2}）$．
故答案為：[-1，$\frac{1}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)f（x）在原點(diǎn)有定義時(shí)，f（0）=0，奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性，以及減函數(shù)定義的運(yùn)用．