Question

19．已知拋物線y²=px（p＞0）與直線y=-x-1相切．
（1）求拋物線標(biāo)準方程，及其準線方程；
（2）若P、Q是拋物線上相異的兩點，且P、Q的中點在直線x=1上，試證：線段PQ的垂直平分線恒過定點T．

Answer 1

分析 （1）由拋物線y²=px（p＞0）與直線y=-x-1聯(lián)立可得x²+（2-p）x+1=0，由直線和拋物線相切知△=0，求出p，即可求拋物線標(biāo)準方程，及其準線方程；
（2）分類討論，由已知條件推導(dǎo)出PQ的垂直平分線方程，由此能證明線段PQ的垂直平分線恰過定點．

解答 解：（1）由拋物線y²=px（p＞0）與直線y=-x-1聯(lián)立可得x²+（2-p）x+1=0，
由直線和拋物線相切知，△=（2=p）²-4=0，解得p=0（舍）或p=4，
∴拋物線方程為y²=4x，其準線方程為x=-1．
（2）證明：因為P、Q是拋物線y²=4x上不同的兩點，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
又因為PQ的中點在直線x=1上，所以PQ的中點N（1，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）
①當(dāng)PQ的斜率存在時，由k_PQ=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
可得PQ的垂直平分線的斜率k=-$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{4}$，
所以PQ的垂直平分線的方程為y-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=-$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{4}$（x-1）
整理得$\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{4}$（x-3）+y=0，
令x-3=0，得x=3，y=0．
所以當(dāng)PQ的斜率存在時，線段PQ的垂直平分線恒過定點T（3，0）．
②當(dāng)PQ的斜率不存在時，M（1，0），PQ的垂直平分線是x軸，仍過定點T（3，0）．
綜上，線段PQ的垂直平分線恒過定點T（3，0）．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查線段的垂直平分線恰好過定點的證明，解題時要認真審題，注意中點坐標(biāo)公式的合理運用．