Question

【題目】對于自然數(shù)數(shù)組，如下定義該數(shù)組的極差：三個數(shù)的最大值與最小值的差.如果的極差，可實施如下操作：若中最大的數(shù)唯一，則把最大數(shù)減2，其余兩個數(shù)各增加1；若中最大的數(shù)有兩個，則把最大數(shù)各減1，第三個數(shù)加2，此為一次操作，操作結(jié)果記為，其級差為.若，則繼續(xù)對實施操作，…，實施次操作后的結(jié)果記為，其極差記為.例如：，.

（1）若，求和的值；

（2）已知的極差為且，若時，恒有，求的所有可能取值；

（3）若是以4為公比的正整數(shù)等比數(shù)列中的任意三項，求證：存在滿足.

Answer 1

【答案】（1）,,；（2）的取值僅能是2；（3）詳見解析．

【解析】

試題（1）由數(shù)組的極差的定義，可知，，這時三數(shù)為，第二次操作后，，這時三數(shù)為，第三次操作后，，，這時三數(shù)為，第四次操作后，，這時三數(shù)為，第五次操作后，，這時三數(shù)為，第六次操作后，，這時三數(shù)為，，第２０１４次操作后，，這時三數(shù)為；（2）已知的極差為且，這時極差最小值為，當(dāng)時，這時是三個連續(xù)的正整數(shù)，即為，由（1）可知，通過變化后，所得數(shù)仍然是，所以數(shù)組的極差不會改變，即，符合題意，當(dāng)，這時三個數(shù)，通過變化成，這是極差為，或，這樣就可以確定出的取值僅能是2；（3）若是以4為公比的正整數(shù)等比數(shù)列中的任意三項，求證：存在滿足，這時三數(shù)形式為，由二項式定理可知，故所以的極差是3的倍數(shù)，這樣根據(jù)極差的定義，通過操作，得到是一個公差為的等差數(shù)列，從而可得出結(jié)論.

（1）,,3分

（2）法一：

①當(dāng)時，則

所以，，

由操作規(guī)則可知，每次操作，數(shù)組中的最大數(shù)變?yōu)樽钚��?shù)，最小數(shù)和次

小數(shù)分別變?yōu)榇涡��?shù)和最大數(shù)，所以數(shù)組的極差不會改變.

所以，當(dāng)時，恒成立.

②當(dāng)時，則

所以或

所以總有.

綜上討論，滿足的的取值僅能是2. 8分

法二：

因為，所以數(shù)組的極差

所以，

若為最大數(shù)，則

若，則

若，則，

當(dāng)時，可得，即

由可得

所以

將代入得

所以當(dāng)時，（）

由操作規(guī)則可知，每次操作，數(shù)組中的最大數(shù)變?yōu)樽钚��?shù)，最小數(shù)和次小

數(shù)分別變?yōu)榇涡��?shù)和最大數(shù)，所以數(shù)組的極差不會改變.

所以滿足的的取值僅能是2. 8分

（3）因為是以4為公比的正整數(shù)等比數(shù)列的三項，

所以是形如（其中）的數(shù)，

又因為

所以中每兩個數(shù)的差都是3的倍數(shù).

所以的極差是3的倍數(shù). 9分

法1：設(shè)，不妨設(shè)，

依據(jù)操作的規(guī)則，當(dāng)在三元數(shù)組（，）中，總滿足是唯一最大數(shù)，是最小數(shù)時，一定有，解得.

所以，當(dāng)時，.

，

依據(jù)操作的規(guī)則，當(dāng)在三元數(shù)組（，）中，總滿足是最大數(shù)，是最小數(shù)時，一定有，解得.

所以，當(dāng)時，.

，

所以存在，滿足的極差. 13分

法2：設(shè)，則

①當(dāng)中有唯一最大數(shù)時，不妨設(shè)，則

，

所以

所以，若是3的倍數(shù)，則是3的倍數(shù).

所以，則，，

所以

所以11分

②當(dāng)中的最大數(shù)有兩個時，不妨設(shè)，則

，

所以，

所以，若是3的倍數(shù)，則是3的倍數(shù).

所以，則，

所以.

所以當(dāng)時，數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列. 12分

當(dāng)時，由上述分析可得，此時

所以存在，滿足的極差. 13分