Question

7．求由拋物線y²=x-1與其在點（2，1），（2，-1）處的切線所圍成圖形的面積．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的切線方程，利用積分的幾何意義即可求出區(qū)域的面積．

解答 解：對y²=x-1，兩邊取x的導數(shù)，
可得2yy′=1，
可得在點（2，1）處的切線斜率為$\frac{1}{2}$，
切線方程為y-1=$\frac{1}{2}$（x-2），即為y=$\frac{1}{2}x$；
在（2，-1）處切線的斜率為-$\frac{1}{2}$，
切線方程為y+1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即為y=-$\frac{1}{2}$x．
可得所圍成圖形的面積為S=2${∫}_{0}^{1}$（y²+1-2y）dy
=2（$\frac{1}{3}$y³+y-y²）${|}_{0}^{1}$=2×（$\frac{1}{3}$+1-1）=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查定積分的應(yīng)用：求面積，屬于中檔題．