Question

8．已知平行四邊形ABCD中，AB=2，E為AB的中點(diǎn)，且△ADE是等邊三角形，沿DE把△ADE折起至A₁DE的位置，使得A₁C=2．

（1）F是線段A₁C的中點(diǎn)，求證：BF∥平面A₁DE；
（2）求證：A₁D⊥CE；
（3）求點(diǎn)A₁到平面BCDE的距離．

Answer 1

分析 （1）取A₁D的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，推導(dǎo)出四邊形BFGE是平行四邊形，從而B(niǎo)F∥EG，由此能證明BF∥平面A₁DE．
（2）推導(dǎo)出CE⊥DE，CE⊥A₁E，從而CE⊥平面A₁DE，由此能證明A₁D⊥CE．
（3）設(shè)點(diǎn)A₁到平面BCDE的距離為h，由${V}_{{A}_{1}CDE}={V}_{C-{A}_{1}DB}$，能求出點(diǎn)A₁到平面BCDE的距離．

解答 證明：（1）取A₁D的中點(diǎn)G，連結(jié)EG，F(xiàn)G，
∵F為A₁C的中點(diǎn)，∴FG∥CD，且FG=$\frac{1}{2}CD$，
∵BE∥CD，且BE=$\frac{1}{2}CD$，∴FG$\underset{∥}{=}$BE，
∴四邊形BFGE是平行四邊形，∴BF∥EG，
∵EG?平面A₁DE，BF?平面A₁DE，
∴BF∥平面A₁DE．
（2）折疊前，∠AED=60°，∠CEB=∠ECB=30°，∴∠CED=90°，
在四棱錐A₁-BCDE中，CE⊥DE，
在△BCE中，BC=BE=1，∠B=120°，
由余弦定理得CE=$\sqrt{3}$，
又A₁E=1，A₁C=2，由勾股定理的逆定理得∠CEA₁=90°，
∴CE⊥A₁E，∵DE∩A₁E=E，∴CE⊥平面A₁DE，
∵A₁D?平面A₁DE，∴A₁D⊥CE．
解：（3）由（2）知CE⊥平面A₁DE，
設(shè)點(diǎn)A₁到平面BCDE的距離為h，
由${V}_{{A}_{1}CDE}={V}_{C-{A}_{1}DB}$，得$\frac{1}{3}{S}_{△CDB}•h=\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}DB}•CE$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×CE×h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{A}_{1}D×EG×CE$，
解得h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴點(diǎn)A₁到平面BCDE的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線線平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．