Question

已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x）=-f（4-x），且當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，f（x）=log₂（x-1），則f（2010）+f（2011）的值為（ ）
A．-2
B．-1
C．1
D．2

Answer 1

【答案】分析：本題函數(shù)解析式只知道一部分，而要求的函數(shù)值的自變量不在此區(qū)間上，由題設(shè)條件知本題中所給的函數(shù)是一個(gè)周期性函數(shù)，故可以利用周期性與函數(shù)是偶函數(shù)這一性質(zhì)將要求的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到區(qū)間[2，4）上求解．
解答：解：由題意定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x）=-f（4-x），
得f（x）=-f（x-4），此式恒成立，故可得f（x）=f（x-8），由此式恒成立可得，此函數(shù)的周期是8．
又當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，f（x）=log₂（x-1），
由此f（2010）+f（2011）=f（2）+f（3）=log₂（2-1）+log₂（3-1）=1．
故選C
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的值，本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)通過轉(zhuǎn)化來求函數(shù)的值，是函數(shù)性質(zhì)綜合運(yùn)用的一道好題．對(duì)于本題中恒等式的意義要好好挖掘，做題時(shí)要盡可能的從這樣的等式中挖掘出信息．