已知,函數(shù)
,
.(
的圖象連續(xù)不斷)
(1) 求的單調(diào)區(qū)間;
(2) 當(dāng)時(shí),證明:存在
,使
;
(3) 若存在屬于區(qū)間的
,且
,使
,證明:
.
(Ⅰ) 的單調(diào)增區(qū)間是
,單調(diào)減區(qū)間是
.
(Ⅱ)存在,使
.
(Ⅲ) .
【解析】
試題分析:(Ⅰ) ,
.
2分
令,則
.
3分
當(dāng)變化時(shí),
,
的變化情況如下表:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
單調(diào)遞增 |
極大值 |
單調(diào)遞減 |
所以的單調(diào)增區(qū)間是
,單調(diào)減區(qū)間是
.
.. ...4分
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),
,
由(Ⅰ)知,在
單調(diào)遞增,在
單調(diào)遞減.
5分
令.
...6分
由于在
單調(diào)遞增,則
,因而
.
7分
取,則
,
...8分
所以存在,使
,即存在
,使
. 9分
(Ⅲ) 由及
的單調(diào)性知
. 10分
從而在區(qū)間
上的最小值為
.又由
,
,則
.
11分
所以
12分
即
13分
所以 .
14分
考點(diǎn):本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及不等式證明問題,不等式的解法。
點(diǎn)評(píng):難題,本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題,通過研究函數(shù)的單調(diào)性,明確了極值情況。本題采用“表解法”,清晰明了。涉及不等式證明問題,往往要轉(zhuǎn)化成研究函數(shù)的最值,通過構(gòu)建a的不等式組,求得a的范圍。本題涉及對(duì)數(shù)函數(shù),要注意函數(shù)的定義域。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
2 | 3 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京四中高三上學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)卷 題型:解答題
(本小題滿分13分)
已知:函數(shù)(其中
)的圖象與
軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為
,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為
(1)求:的解析式;
(2)當(dāng),求:函數(shù)
的值域
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京四中高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題
(本小題滿分13分)已知:函數(shù)(其中
)的
圖象與
軸的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為
,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為
。
(1)求:的解析式; (2)當(dāng)
,求:函數(shù)
的值域。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年四川省高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)
已知冪函數(shù)f(x)=xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(,
).
(1)求實(shí)數(shù)α的值;
(2)求證:f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)是減函數(shù).
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