Question

已知函數(shù)f(x)=

cosx+1

x2+xsinx+1

，對于區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的任意實(shí)數(shù)x₁、x₂，有如下條件：
①x₁＞x₂；②

x

2 1

＞

x

2 2

；③|x₁|＞x₂；④x₁+x₂＜0；⑤x₁＞|x₂|．
其中能使f（x₁）＜f（x₂）恒成立的條件序號是

②⑤

．（寫出所有正確條件的序號）

Answer 1

分析：先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再考慮函數(shù)在[0，

π

2

]上的單調(diào)性，然后利用單調(diào)性的定義驗(yàn)證正確的條件，列舉反例判斷不正確的條件即可

解答：解：函數(shù)的定義域?yàn)?span id="55l75pn" class="MathJye">[-

π

2

，

π

2

]，f(-x)=

cos(-x)+1

(-x)2+(-x)sin(-x)+1

=

cosx+1

x2+xsinx+1

=f(x)
∴函數(shù)f(x)=

cosx+1

x2+xsinx+1

是偶函數(shù)
∴可先考慮函數(shù)在[0，

π

2

]上的單調(diào)性
f′(x)=

-sinx(x2+xsinx+1)-(cosx+1)(2x+sinx+xcosx)

(x2+xsinx+1)2

=-

sinx(x2+xsinx+1)+(cosx+1)(2x+sinx+xcosx)

(x2+xsinx+1)2

當(dāng)x∈[0，

π

2

]時(shí)，sinx≥0，cosx≥0，∴f′（x）＜0
∴函數(shù)在[0，

π

2

]上的單調(diào)減
若x₁＞x₂，取x1=

π

4

，x2=-

π

3

，∴0＜x1＜-x2＜

π

2

，∴f（x₁）＞f（-x₂），∴f（x₁）＞f（x₂），∴①不正確；
若

x

2 1

＞

x

2 2

，x₁、x₂∈[-

π

2

，

π

2

]，∴

π

2

≥|x₁|＞|x₂|≥0，∴f（x₁）＜f（x₂）恒成立，∴②正確；
若|x₁|＞x₂，則取x1=-

π

3

，x2=-

π

4

，∴0＜-x1＜-x2＜

π

2

，∴f（-x₁）＞f（-x₂），∴f（x₁）＞f（x₂），∴③不正確；
若x₁+x₂＜0，取x1=

π

4

，x2=-

π

3

，∴0＜x1＜-x2＜

π

2

，∴f（x₁）＞f（-x₂），∴f（x₁）＞f（x₂），可知④不正確
若x₁＞|x₂|，區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的任意實(shí)數(shù)x₁、x₂，即x₁＞x₂，且x₁，x₂∈[0，

π

2

]，，∴f（x₁）＜f（x₂）恒成立，∴⑤正確；
故答案為：②⑤

點(diǎn)評：本題以具體函數(shù)為載體，考查函數(shù)的性質(zhì)，考查結(jié)論成立的條件，是個(gè)開放式的命題，對學(xué)生的理解判斷能力要求比較高．