Question

設復數(shù)x=z是實系數(shù)方程ax²+bx+c=0的虛根，證明x=

.

z

也是該方程的根．

Answer 1

考點：實系數(shù)多項式虛根成對定理

專題：數(shù)系的擴充和復數(shù)

分析：設出復數(shù)z，利用方程根的關系代入方程，然后推出共軛復數(shù)的滿足題意．即可．

解答： 證明：復數(shù)x=z是實系數(shù)方程ax²+bx+c=0的虛根，設z=α+βi，則：a（α+βi）²+b（α+βi）+c=0，
可得a（α²-β²）+bα+c+（2aαβ+bβ）i=0．
可得a（α²-β²）+bα+c=0且2aαβ+bβ=0．
可得：a（α²-β²）+bα+c-（2aαβ+bβ）i=0．
即a（α-βi）²+b（α-βi）+c=0．
因為α-βi與α+βi是共軛復數(shù)，
可知x=

.

z

也是該方程ax²+bx+c=0的根．

點評：本題考查復數(shù)的應用，實系數(shù)方程虛根成對的驗證，基本知識的考查．