f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對任意x∈R,總有f(x+2)=-f(x)成立,則f(19)=( )
A.0
B.1
C.18
D.19
【答案】分析:本題是函數(shù)的性質(zhì)---偶函數(shù)與周期性以及恒等關(guān)系靈活運用題,首先對f(x+2)=-f(x)進行變形,得到f(x+4)=-f(x+2)=f(x),證出周期為4,得出f(19)=f(-1),再由函數(shù)是偶函數(shù)及恒等式f(x+2)=-f(x)分別得出f(-1)=f(1)與f(1)=-f(-1),由兩者聯(lián)立得到f(-1)=-f(-1),算出f(-1)=0,即f(19)=0
解答:解:f(x+2)=-f(x)⇒f(x+4)=-f(x+2)=f(x)⇒周期T=4⇒f(19)=f(-1),
又f(x)是定義在R上的偶函數(shù),得f(-1)=f(1)①,
且當x=-1時,f(-1+2)=-f(-1),即f(1)=-f(-1)②,
由①②聯(lián)立得f(-1)=0
所以f(19)=f(-1)=0
故選A.
點評:本題是函數(shù)性質(zhì)的綜合運用題,技巧性較高,屬于知識靈活運用題,本題有一個易忽視的地方,那就是f(x+2)=-f(x)的理解與運用,除了可用之得到周期為4外,還應由它得出一個具體的等式f(1)=-f(-1),這也是解本題的一個難點.