Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，是的中點(diǎn)，，，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析,（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，可知，根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理，證明即可.

（Ⅱ）法一: 由，，可知，即，根據(jù)平面，可知平面，即，，以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，， 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量為，平面的法向量為，根據(jù)，求解即可. 法二：延長(zhǎng)、交于，連接，過(guò)作于，過(guò)作于，連接，則平面，，又，所以平面，為平面與平面所成銳二面角的平面角. 由，，，計(jì)算

，，利用，求解，即可.

（Ⅰ）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).

則為中點(diǎn)，為中位線(xiàn).

所以.

又平面，平面.

所以平面.

（Ⅱ）法一：因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以.

又因?yàn)?/span>，所以，則

即，所以.

又因?yàn)?/span>平面，所以建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.

平面的法向量為.

設(shè)平面的法向量為，則由，，得

令，則，.

所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

法二：延長(zhǎng)、交于，連接，過(guò)作于，

過(guò)作于，連接，

則平面，，又，所以平面，

為平面與平面所成銳二面角的平面角.

中，，所以高為中線(xiàn)，，，

∵，∴，∴，

中，，

，∴

中，，，

所以平面與平面所成銳二面角的平面角的余弦值為.