Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

a

×（

b

+

c

），其中

a

=（sinx，-cosx），

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），x∈R．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）求當(dāng)x∈[

3π

8

，

7π

8

]時，函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）y=cosx的圖象函數(shù)經(jīng)過怎樣的轉(zhuǎn)換得到f（x）的圖象．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）直接結(jié)合平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)進行化簡函數(shù)，然后，結(jié)合二倍角公式進行求解即可；
（2）利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行求解；
（3）直接根據(jù)三角函數(shù)圖象變換處理即可．

解答： 解：（1）∵

b

=（sinx，-3cosx），

c

=（-cosx，sinx），
∴

b

+

c

=（sinx-cosx，-3cosx+sinx），
∵

a

=（sinx，-cosx），
∴函數(shù)f（x）=

a

•（

b

+

c

）
=sinx（sinx-cosx）+cosx（3cosx-sinx）
=sin²x-sinxcosx+3cos²x-sinxcosx
=sin²x+cos²x+2cos²x-2sinxcosx
=1+1+cos2x-sin2x
=

2

cos（2x+

π

4

）+2，
∴f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）+2，
∴函數(shù)的解析式f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）+2；
（2）令π+2kπ≤2x+

π

4

≤2π+2kπ，k∈Z，
∴x∈[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，即f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）+2的單調(diào)遞增區(qū)間為[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]，k∈Z．
當(dāng)x=0時，
x∈[

3π

8

，

7π

8

]，
∴當(dāng)x∈[

3π

8

，

7π

8

]時，函數(shù)f（x）為單調(diào)增函數(shù)；
（3）先將函數(shù)y=cosx的圖象橫坐不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)g（x）=2cosx的圖象，然后，再將所得圖象上的橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，從而得到h（x）=2cos2x的圖象，然后再向左平移

π

8

個單位，從而得到函數(shù)r（x）=2cos（2x+

π

4

）的圖象，再將所得圖象整體向上平移2個單位，就得到f（x）=

2

cos（2x+

π

4

）+2的圖象．

點評：本題重點考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角公式及其靈活運用，屬于中檔題．