Question

對(duì)任意x∈R，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)存在，若f′（x）＞f（x）且a＞0則e^a•f（0）與f（a）的大小關(guān)系為：e^a•f（0）

＜

f（a）（用≤，≥，＜，＞之一填空）．

Answer 1

分析：由f′（x）＞f（x）可得f'（x）-f（x）＞0，而由e^-x[f′（x）-f（x）]＞0可判斷函數(shù)e^-xf（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合a＞0可求．

解答：解：∵f′（x）＞f（x），∴f′（x）-f（x）＞0，
又∵e^-x＞0，∴e^-x[f′（x）-f（x）]＞0
∴e^-xf′（x）-e^-xf（x）＞0
而[e^-xf（x）]′=（e^-x）′f（x）+e^-xf′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）＞0
∴函數(shù)F（x）=e^-xf（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，又∵a＞0
所以F（a）＞F（0），即e^-af（a）＞e^-0f（0）=f（0）
變形可得：e^af（0）＜f（a），
故答案為：＜

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，觀察和利用e^-xf（x）的導(dǎo)函數(shù)的形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．