20.f(x)=2$\sqrt{3}$sin(3ωx+$\frac{π}{3}$)(ω>0)
(1)若f(x+θ)是周期為2π的偶函數(shù).求ω及θ值;
(2)在(1)的條件下求函數(shù)f(x)在[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{3}$]的值域.

分析 (1)由條件求得f(x+θ)的解析式,再利用正弦函數(shù)周期性和奇偶性,求得ω及θ值.
(2)由x∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{3}$],利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)f(x)得值域.

解答 解:(1)由于f(x)=2$\sqrt{3}$sin(3ωx+$\frac{π}{3}$),
可得f(x+θ)=2$\sqrt{3}$sin[3ω(x+θ)+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin(3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$),
再根據(jù)f(x+θ)是周期為2π的偶函數(shù),可得$\frac{2π}{3ω}$=2π,3ωθ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z.
求得ω=$\frac{1}{3}$,θ=kπ+$\frac{π}{6}$,f(x)=2$\sqrt{3}$sin(x+$\frac{π}{3}$).
(2)由x∈[-$\frac{π}{2}$,$\frac{π}{3}$],可得x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{6}$,$\frac{2π}{3}$],
故當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{6}$時(shí),f(x)取得最小值為-$\sqrt{3}$,當(dāng)x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時(shí),f(x)取得最大值為2$\sqrt{3}$,
故函數(shù)f(x)得值域?yàn)閇-$\sqrt{3}$,2$\sqrt{3}$].

點(diǎn)評 本題主要考查正弦函數(shù)周期性和奇偶性,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于基礎(chǔ)題.

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