Question

5．設(shè)定義在R上的奇函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且f（1）=0，若x＞0時(shí)，f（x）+xf′（x）＞0，則關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集為[-1，0]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 由當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）+xf′（x）＞0，可得g（x）=xf（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（1）=0，可得關(guān)于x的不等式f（x）≥0的解集．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）
令g（x）=xf（x），
∴g（-x）=g（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
又∵f（1）=0，
∴f（-1）=-f（1）=0，
∴g（1）=g（-1）=0
又∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）+xf′（x）＞0，
即當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）′＞0，
即g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，在（-∞，0）是減函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）≥0，即g（x）≥g（1），解得：x≥1
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）≥0，即g（x）≤g（-1），解得：-1≤x＜0，
∴不等式f（x）≥0的解集為：[-1，0]∪[1，+∞），
故答案為：[-1，0]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，難點(diǎn)在于作圖，著重考查奇函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．