設(shè)長為a、b、c的三條線段可以構(gòu)成銳角三角形.證明存在一個(gè)對棱相等且棱長分別為a、b、c的四面體并計(jì)算其體積.

證明:

由已知條件得a2+b2-c2＞0，b2+c2-a2＞0,c2+a2-b2＞0.?

令x=,y=,z=.?

分別以x、y、z為過同一頂點(diǎn)的棱長作長方體ABCD—A1B1C1D1,則A1D=BC1=a,AB1=C1D=b,BD=?A1C1=c,?

∴四面體C1—A1BD符合題意，其體積等于長方體體積減去四個(gè)直角四面體的體積.?

∴V=xyz-4×xyz=xyz?

=.

點(diǎn)評:本題關(guān)鍵是將長為a、b、c的銳角三角形與長方體過某頂點(diǎn)的截面三角形類比，構(gòu)造出完整圖形后，證明其符合條件.

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（2012•順義區(qū)一模）已知向量
m
=(2cos
x
2
，1)，
n
=(cos
x
2
，-1)，（x∈R），設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C，若f(A)=
1
3
，BC=2
3
，AC=3，求邊長AB的值．

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