Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=

3

，∠ACB=90°，M是線段PD上的一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；      
（Ⅱ）求二面角D-PC-A的正切值；
（Ⅲ）試確定點(diǎn)M的位置，使直線MA與平面PCD所成角θ的正弦值為

15

5

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，BC?平面AC，知PA⊥BC，由∠ACB=90°，知BC⊥AC，由此能夠證明BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)E，則AE⊥CD，故AE⊥AB，由PA⊥底面ABCD，知PA⊥AE，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角D-PC-A的正切值．
（Ⅲ）設(shè)M（x，y，z），

PM

=m

PD

，則（x，y，z-

3

）=m（

3

2

，-

1

2

，-

3

），解得點(diǎn)M（

3

2

m，-

1

2

m，

3

-

3

m），由此能夠推導(dǎo)出當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時，直線AM與平面PCD所成角的正弦值為

15

5

．

解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，BC?平面AC，∴PA⊥BC，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，又PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）取CD的中點(diǎn)E，則AE⊥CD，
∴AE⊥AB，又PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AE，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，，0，0），P（0，0，

3

），C（

3

2

，

1

2

，0），D（

3

2

，-

1

2

，0）

∴

AP

=（0，0，

3

），

AC

=（

3

2

，

1

2

，0），

PD

=(

3

2

，-

1

2

，-

3

)，

PC

=(

3

2

，

1

2

，-

3

)，
設(shè)平面PAC的一個法向量

n1

=(x1，y1，z1)，則

AP

•

n1

=0，

AC

•

n2

=0，
∴

3 z1=0 3 2 x1+ 1 2 y1=0

，∴

n1

=(

3

，-3，0)．
設(shè)平面PDC的一個法向量

n2

=(x2，y2，z2)，則

PC

•

n2

=0，

PD

•

n2

=0，
∴

3 2 x2+ 1 2 y2- 3 z2=0 3 2 x2- 1 2 y2- 3 z2=0

，∴

n2

=(2，0，1)，
設(shè)二面角D-PC-A的平面角為θ，
∴cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=|

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

|=|

2 3

12 • 5

|=

5

5

，
故二面角D-PC-A的正切值為2．
（Ⅲ）設(shè)M（x，y，z），

PM

=m

PD

，
則（x，y，z-

3

）=m（

3

2

，-

1

2

，-

3

），
解得點(diǎn)M（

3

2

m，-

1

2

m，

3

-

3

m），即

AM

=（

3

2

m，-

1

2

m，

3

-

3

m），
由sinθ=

3

5 • m2+3(1-m)2

=

15

5

，得m=1（不合題意舍去）或m=

1

2

，
所以當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時，直線AM與平面PCD所成角的正弦值為

15

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正切值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的探索．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運(yùn)用．