已知定義在區(qū)間[-π,
2
]
上的函數(shù)y=f(x)圖象關于直線x=
π
4
對稱,當x≥
π
4
時,f(x)=-sinx.
(1)作出y=f(x)的圖象;
(2)求y=f(x)的解析式;
(3)若關于x的方程f(x)=-
9
10
有解,將方程所有的解的和記為M,結(jié)合(1)中函數(shù)圖象,求M的值.
分析:(1)根據(jù)圖象的對稱性做出y=f(x)的圖象.
(2)任取x∈[-π,
π
4
],則
π
2
-x∈[
π
4
,
2
],由題意得f(x)=f(
π
2
-x)
.再根據(jù)當x≥
π
4
時,f(x)=-sinx,
求出解析式.
(3)因為-
9
10
∈(-1,-
2
2
),f(x)=-
9
10
 有4個根滿足 x1<x2
π
4
<x3<x4,利用對稱性求出M的值.
解答:解:(1)y=f(x)的圖象如圖所示.
(.4分)
(2)任取x∈[-π,
π
4
],則
π
2
-x∈[
π
4
,
2
],由于函數(shù)f(x)圖象關于直線x=
π
4
對稱,
f(x)=f(
π
2
-x)
.(6分)
又當x≥
π
4
時,f(x)=-sinx,則f(x)=f(
π
2
-x)
=-sin(
π
2
-x)=-cosx,(8分)
f(x)=
-cosx,x∈[-π,
π
4
)
-sinx,x∈[
π
4
,
2
]
.(10分)
(3)因為-
9
10
∈(-1,-
2
2
),f(x)=-
9
10
 有4個根滿足 x1<x2
π
4
<x3<x4,(12分)
由對稱性得,x1+x2=0,x3+x4=π,則M=x1+x2 +x3+x4=π.(14分)
點評:本題主要考查正弦函數(shù)的圖象,根的存在性及根的個數(shù)判斷,以及函數(shù)與方程的思想,解答關鍵是運用數(shù)形結(jié)合的思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間(-1,1)上的函數(shù)f(x)=
ax+b
x2+1
為奇函數(shù).且f(
1
2
)=
2
5

(1)、求實數(shù)a、b的值.
(2)、求證:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù).
(3)、解關于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足f(
x1x2
)=f(x1)-f(x2),且當x>1時,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)判斷并證明f(x)的單調(diào)性;
(3)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

填空題
(1)已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
,則sin2x的值為
1
9
1
9

(2)已知定義在區(qū)間[0,
2
]
上的函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線x=
4
對稱,當x≥
4
時,f(x)=cosx,如果關于x的方程f(x)=a有四個不同的解,則實數(shù)a的取值范圍為
(-1,-
2
2
)
(-1,-
2
2
)


(3)設向量
a
,
b
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
,(
a
-
b
)⊥
c
a
b
,若|
a
|=1
,則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2
的值是
4
4

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知定義在區(qū)間[-π,
2
]上的函數(shù)y=f(x)圖象關于直線x=
π
4
對稱,當x≥
π
4
時,f(x)=-sinx.
(1)作出y=f(x)的圖象;
(2)求y=f(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知定義在區(qū)間[0,1]上的函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,對于滿足0<x1<x2<1的任意x1,x2,給出下列結(jié)論:
①f(x2)-f(x1)>x2-x1;
②[f(x2)-f(x1)]•(x2-x1)<0;
③x2f(x1)>x1f(x2);
f(x1)+f(x2)
2
<f(
x1+x2
2
)

其中正確的結(jié)論的序號是
 

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