已知向量．
m
=(
3
sin
x
4
，1)，
n
=(cos
x
4
，
1+cos
x
2
2
)
（Ⅰ）若
m
•
n
=1，求cos（
2π
3
-x）的值；
（Ⅱ）記f（x）=
m
•
n
，在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數(shù)f（A）的取值范圍．
分析：（1）利用數(shù)量積運算和兩角和差的正弦公式及其誘導(dǎo)公式、倍角公式即可得出．
（2）由（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理、誘導(dǎo)公式可得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，進而得到cosB=
1
2
，即可解得B，得到A的取值范圍，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
解答：解：（1）1=
m
•
n
=
3
sin
x
4
cos
x
4
+
1
2
(1+cos
x
2
)=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2

=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
，
化為sin(
x
2
+
π
6
)=
1
2
，
∴cos(
2π
3
-x)=-cos(
π
3
+x)=-[1-2sin2(x+
π
6
)]=-1+2×(
1
2
)2=-
1
2
．
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理可得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA＞0，
∴cosB=
1
2
，
∵B∈（0，π），
∴B=
π
3
．
∴A∈(
π
6
，
π
2
)，
∵f(x)=sin(
x
2
+
π
6
)+
1
2
，
∴f（A）=sin(
A
2
+
π
6
)+
1
2
，
∵
A
2
+
π
6
∈(
π
4
，
5π
12
)，
∴sin(
A
2
+
π
6
)∈(
2
2
，
2
+
6
4
)，
∴f(A)∈(
2
+1
2
，
2
+
6
+2
4
)．
∴函數(shù)f（A）的取值范圍是(
2
+1
2
，
2
+
6
+2
4
)．
點評：本題考查了數(shù)量積運算和兩角和差的正弦公式及其誘導(dǎo)公式、倍角公式、正弦定理、正弦函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函數(shù)f（x）=
a
•
b
+
1
2
的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若x∈(
7
24
π，
5
12
π)時，f(x)=-
3
5
，求cos4x的值；
（3）若cosx≥
1
2
，x∈（0，π），且f（x）=m有且僅有一個實根，求實數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=（
3
sinωx，cosωx），
b
=（ cosωx，cosωx），其中ω＞0，記函數(shù)f（x）=
a
•
b
-
1
2
已知f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；對稱軸方程；對稱中心坐標(biāo)；
（3）當(dāng)0＜x≤
π
3
時，試求f（x）的最值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•臺州二模）已知向量
a
=(m，n)，
b
=(1，-1)，其中m，n∈{1，2，3，4，5}，則
a
與
b
的夾角能成為直角三角形內(nèi)角的概率是
3
5
3
5
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：鹽城一模 題型：解答題

已知向量a=（
3
sinωx，cosωx），b=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函數(shù)f(x)=a•b+
1
2
的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若x∈(
7
24
π，
5
12
π)時，f(x)=-
3
5
，求cos4x的值；
（3）若cosx≥
1
2
，x∈（0，π），且f（x）=m有且僅有一個實根，求實數(shù)m的值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案