Question

15．同一個平面上的兩個非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，則向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夾角的取值范圍為[0，$\frac{π}{3}$]．

Answer 1

分析 先根據(jù)已知條件平方整理得到向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$數(shù)量積，再結(jié)合基本不等式求出夾角的余弦值的范圍，求出結(jié)論．

解答 解：因為非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|$，
所以${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow=3{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow+3{\overrightarrow}^{2}$，
整理得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{1}{4}（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}）$≥$\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$，
所以向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夾角的余弦值cosθ$≥\frac{1}{2}$，
所以向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$夾角的取值范圍為[0，$\frac{π}{3}$]；
故答案為：[0，$\frac{π}{3}$]．

點評 本題主要考察數(shù)量積表示兩個向量的夾角以及基本不等式的應(yīng)用．屬于中檔題．