Question

20．已知橢圓$γ：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1$（常數(shù)a＞1）的左頂點(diǎn)為R，點(diǎn)A（a，1），B（-a，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）設(shè)a=2，Q是橢圓γ上任意一點(diǎn)，S（6，0），求$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}$的最小值；
（2）若P是橢圓γ上任意一點(diǎn)，$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}$，求m²+n²的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，表示出$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}$，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)即可求解；（2）由題意，用m，n表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓方程即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，有R（-2，0），A（2，1），B（-2，1），
設(shè)點(diǎn)Q（x₀，y₀），則$\overrightarrow{QS}=（6-{x}_{0}，-{y}_{0}），\overrightarrow{QR}=（-2-{x}_{0}，-{y}_{0}）$，
∴$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}{{=x}_{0}}^{2}{{+y}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-12$，
又點(diǎn)Q在橢圓上，∴${{y}_{0}}^{2}=1-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$代入上式得：$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}=\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-11$，x₀∈[-2，2]，
∵函數(shù)$y=\frac{3}{4}{{x}_{0}}^{2}-4{x}_{0}-11$在區(qū)間[-2，2]上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x₀=-2時(shí)函數(shù)取最小值，且最小值為-16．
即$\overrightarrow{QS}•\overrightarrow{QR}$的最小值為-16．
（2）由題意知$\overrightarrow{OA}=（a，1），\overrightarrow{OB}=（-a，1）$，
∴$\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{OA}+n\overrightarrow{OB}=（ma-na，m+n）$，
即點(diǎn)P（ma-na，m+n），
又點(diǎn)P在橢圓上，
∴$\frac{{（ma-na）}^{2}}{{a}^{2}}{+（m+n）}^{2}=1$，
化簡(jiǎn)得2（m²+n²）=1，
∴${m}^{2}+{n}^{2}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的一個(gè)簡(jiǎn)單的綜合問(wèn)題，正確轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．第一問(wèn)中求最值問(wèn)題是一道比較常規(guī)也是比較經(jīng)典的題型，利用函數(shù)方法是最常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法．本題還可以用橢圓的參數(shù)方程求解．