Question

【題目】已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記M的軌跡為曲線C．

（1）求曲線C的方程；

（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為H．連結(jié)QH并延長交C于點(diǎn)R．

（i）設(shè)O到直線QH的距離為d．求d的取值范圍;

（ii）求面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) （i） （ii）面積最大值為，直線的方程為.

【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程求解即可

（2）聯(lián)立直線與圓的方程，得出P、Q、H三點(diǎn)坐標(biāo)，表示出QH直線方程，采用點(diǎn)到直線距離公式求解；利用圓的幾何關(guān)系，表示出三角形的底和高，再結(jié)合函數(shù)最值問題進(jìn)行求解

（1）由及兩點(diǎn)距離公式，

有，

化簡(jiǎn)整理得，．

所以曲線C的方程為；

（2）（i）設(shè)直線l的方程為；

將直線l的方程與圓C的方程聯(lián)立，消去y，

得（，解得

因此，，，

所以直線QH的方程為．

到直線QH的距離，

當(dāng)時(shí)．，所以，

（ii）過O作于D，則D為QR中點(diǎn)，且由（i）知，

，，

又由，故的面積，

由，有，所以，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且此時(shí)由（i）有，即.

綜上，的面積最大值為的面積最大值為，且當(dāng)面積最大時(shí)直線的方程為.