Question

19．如圖所示是某組數(shù)據(jù)的莖葉圖，已知該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為$\frac{23}{2}$，ab=1（a，b∈R），則$\frac{a}{2}sin2x+bco{s}^{2}x-\frac{2}$的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意先求出a、b的值，再化簡$\frac{a}{2}sin2x+bco{s}^{2}x-\frac{2}$，求出它的最大值．

解答 解：∵ab=1①，$\frac{a+11+13+（20+b）}{4}$=$\frac{23}{2}$②，
∴由①②解得a=b=1；
∴$\frac{a}{2}sin2x+bco{s}^{2}x-\frac{2}$=$\frac{1}{2}$sin2x+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos2x）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴該式的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查了莖葉圖的應(yīng)用問題，也考查了三角函數(shù)的恒等變換與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．