Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f（x）=ln（x²+2x+2）；
（1）求f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）-m=0無(wú)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可得出；
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)f（x）的值域，進(jìn)而得出m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）=ln（x²+2x+2）；
∴f（-x）=ln（x²-2x+2），
又定義在R上的函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，
∴f（x）=-f（-x）=-ln（x²-2x+2），f（0）=0．
∴f（x）=

ln(x2+2x+2)，x＞0 0，x=0 -ln(x2-2x+2)，x＜0

．
（2）由（1）可得：x＞0時(shí)，f（x）=ln[（x+1）²+1]＞ln2．
x=0時(shí)，f（0）=0．
x＜0時(shí)，f（x）=-ln[（x-1）²+1]＜-ln2．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?∞，-ln2）∪{0}∪（ln2，+∞）．
∵方程f（x）-m=0無(wú)解，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-ln2，0）∪（0，ln2]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．