Question

對于數(shù)集X={-1，x₁，x₂，…x}，其中0＜x₁＜x₂＜…＜x_n，n≥2，定義向量集Y={

a

|

a

=（s，t），s∈X，t∈X}，若對任意

a1

∈Y，存在

a2

∈Y，使得

a1

•

a2

=0，則稱X具有性質(zhì)P．
（Ⅰ）判斷{-1，1，2}是否具有性質(zhì)P；
（Ⅱ）若x＞2，且{-1，1，2，x}具有性質(zhì)P，求x的值；
（Ⅲ）若X具有性質(zhì)P，求證：1∈，且當(dāng)x_n＞1時，x₁=1．

Answer 1

考點：集合的表示法,元素與集合關(guān)系的判斷

專題：集合

分析：（Ⅰ）根據(jù)新定義直接判斷即可．
（Ⅱ）在Y中取

a1

=（x，2），根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式，可得Y中與

a1

垂直的元素必有形式（-1，b），所以x=2b，結(jié)合x＞2，可得x的值．
（Ⅲ）取

a1

=（x₁，x₁），

a2

=（s，t）根據(jù)

a1

•

a2

=0，化簡可得s+t=0，所以s、t異號．而-1是數(shù)集X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中的負(fù)數(shù)必為-1，另一個數(shù)是1，從而證出1∈X，最后通過反證法，可以證明出當(dāng)x_n＞1時，x₁=1．

解答： 解：（Ⅰ）{-1，1，2}具有性質(zhì)P．
（Ⅱ）選取

a1

=（x，2），Y中與

a1

垂直的元素必有形式（-1，b）．
所以x=2b，從而x=4；                                       
（ III）證明：取

a1

=（x₁，x₁）∈Y，．設(shè)

a2

=（s，t）∈∈Y滿足

a1

•

a2

=0．
由（s+t）x₁=0得s+t=0，所以s、t異號．
因為-1是X中唯一的負(fù)數(shù)，所以s、t中之一為-1，另一為1，
故1∈X．
假設(shè)x_k=1，其中1＜k＜n，則0＜x₁＜1＜x_n．
選取

b1

=（x₁，x_n），并設(shè)

b2

=（p，q）滿足

b1

•

b2

=0，
即px₁+qx_n=0，則p，q異號，從而p，q之中恰有一個為-1．
若p=-1，則x₁=qx_n，顯然矛盾；
若q=-1，則x_n=px₁＜p≤x_n，矛盾．
所以x₁=1．

點評：本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算為載體，著重考查了集合元素的性質(zhì)與向量的綜合等知識點，本題是一道綜合題，請同學(xué)們注意解題過程中的轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論的方法和反證法的運用．