Question

19．已知正方形ABCD，過正方形中心O的直線MN分別交正方形的邊AB，CD于點M、N，則$\frac{{M{N^2}}}{{B{N^2}}}$最小值為$3-\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 通過三角形的全等，求出x的值，利用方程有解，推出t的范圍，然后求解即可求得結論．

解答 解：不妨設正方形ABCD的邊長為1，由△AOM≌△CON，則AM=CN=x
設CN=x，經(jīng)過點N作NE⊥AB，則四邊形NEBC為矩形
∴NE=BC=1，BE=CN=x
則ME=（1-x）-x=1-2x（或2x-1）
∴MN²=EM²+EN²=2-4x+4x²
BN²=BC²+CN²=1+x²
令2-4x+4x²=t（1+x²），整理：
﹙t-4﹚x²+4x+t-2=0有實根
∴16-4（t-4）（t-2）≧0
解得：$3-\sqrt{5}$≤t≤3+$\sqrt{5}$
∴$\frac{{M{N^2}}}{{B{N^2}}}$最小值為$3-\sqrt{5}$．
故答案為$3-\sqrt{5}$．

點評 本題考查學生分析解決問題的能力，考查學生的探究能力，屬于中檔題．