Question

9．給出以下命題：（1）若${∫}_{a}^f（x）dx＞0$，則f（x）＞0；（2）${∫}_{0}^{2x}|sinx|dx=4$；（3）f（x）的原函數(shù)為F（x）且F（x）為T為周期的函數(shù)，則${∫}_{0}^{T}f（x）dx$=${∫}_{T}^{2T}f（x）dx$；其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 0

Answer 1

分析 （1）根據(jù)微積分基本定理，得出）∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，可以看到與f（x）正負無關(guān)．
（2）注意到sinx在[0，2π]的取值符號不同，根據(jù)微積分基本運算性質(zhì)，化為∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx求解，判斷．
（3）根據(jù)微積分基本定理，兩邊分別求解，再結(jié)合F（T+T）=F（T），F(xiàn)（T）=F（0）判定．

解答 解：（1）由∫_b^af（x）dx=F（b）-F（a）＞0，得F（b）＞F（a），未必f（x）＞0．（1）錯誤．
（2）∫₀^2π|sinx|dx=∫₀^π|sinx|dx+∫_π^2π|sinx|dx=∫₀^πsinxdx+∫_π^2π（-sinx）dx=（-cosx）|_0^π+cosx|π^2π=1-（-1）+1-（-1）=4．（2）正確．
（3）∫₀^Tf（x）dx=F（T）-F（0），∫_T^2Tf（x）dx=F（T+T）-F（T）=F（T）-F（0），則${∫}_{0}^{T}f（x）dx$=${∫}_{T}^{2T}f（x）dx$；（3）正確．
正確命題的個數(shù)為2，
故選B．

點評 本題考查微積分基本定理，微積分基本運算性質(zhì)．屬于基礎(chǔ)題型．