Question

（本題滿分10分） 將一個長、寬分別的長方形的四個角切去四個相同的正方形，然后折成一個無蓋的長方體形的盒子，

（Ⅰ）設切去小正方形的邊長為，用表示這個長方體的外接球的半徑；

（Ⅱ）若這個長方體的外接球的體積存在最小值，求的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）（）；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）切去正方形后所形成的無蓋長方體的長、寬、高分別為，根據(jù)長方體對象線公式求出對角線的長，再通過外接球的直徑為長方體的對角線求出R；（Ⅱ）要是長方體的外接球的體積存在最小值，只要R存在最小值，將其轉化為求二次方程的最小值問題，利用對稱軸，構造關于的不等式進行求解。

試題解析：（Ⅰ）設切去的正方形的邊長為，長方體對角線長的平方，

又外接球中，，所以 （）

（Ⅱ）由對稱軸：， 當長方體的外接球的體積存在最小值時，

，

考點：1、長方體體積公式；2、二次函數(shù)求最值問題；3、綜合分析和解決問題的能力。