Question

已知曲線f（x）=

log3(x+1)

x+1

（x＞0）上有一點(diǎn)列P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），點(diǎn)P_n在x軸上的射影是Q_n（x_n，0），且x_n=3x_n-1+2（n≥2，n∈N^*），x₁=2．
（1）求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)梯形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面積是S_n，T_n=

1

S1

+

1

2S2

+…+

1

nSn

，試比較T_n與3的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由x_n=3x_n-1+2（n≥2，n∈N^*），x₁=2，得x_n+1=3（x_n-1+1），從而{x_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，由此求出xn=3n-1，n∈N^*．
（2）由已知得y_n=f（x_n）=

n

3n

，|Q_nQ_n-1|=2•3ⁿ，|P_nQ_n|=

n

3n

，從而S_n=

1

2

（|P_nQ_n|+|P_n-1Q_n-1|）•|Q_nQ_n-1|=

4n+1

3

，進(jìn)而

1

nSn

=

3

n(4n+1)

=

12

4n(4n+1)

＜3（

1

n

-

1

n+1

），由此利用裂項(xiàng)求和法能證明T_n＜3．

解答： 解：（1）由x_n=3x_n-1+2（n≥2，n∈N^*），x₁=2，
得x_n+1=3（x_n-1+1），
又x₁+1=3，
∴{x_n+1}是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，
∴xn+1=3n，∴xn=3n-1，n∈N^*．
（2）∵f（x）=

log3(x+1)

x+1

（x＞0）上有一點(diǎn)列P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），
∴y_n=f（x_n）=

log3(xn+1)

xn+1

=

n

3n

，
∵點(diǎn)P_n在x軸上的射影是Q_n（x_n，0），
∴|Q_nQ_n-1|=|3ⁿ⁺¹-1-（3ⁿ-1）|=2•3ⁿ，
而|P_nQ_n|=

n

3n

，
∴四邊形P_nQ_nQ_n-1P_n-1的面積為：
S_n=

1

2

（|P_nQ_n|+|P_n-1Q_n-1|）•|Q_nQ_n-1|
=

1

2

(

n

3n

+

n+1

3n+1

)•2×3n
=

4n+1

3

，
∴

1

nSn

=

3

n(4n+1)

=

12

4n(4n+1)

=12（

1

4n

-

1

4n+1

）
＜12（

1

4n

-

1

4n+4

）=3（

1

n

-

1

n+1

），
∴T_n=

1

S1

+

1

2S2

+…+

1

nSn

=3（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=3（1-

1

n+1

）＜3．
∴T_n＜3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．