Question

已知函數(shù)f(x)=x3-ax ， g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

（1）若g（x）與f（x）在同一點(diǎn)處有相同的極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），有不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）記G(x)=

1

2

x3-

5

2

x-xg(x)+

1

2

求證：當(dāng)x≥1時(shí)，總有G(x)≤

1

2

x2成立．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=x3-ax ， g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

，知f′（x）=3x²-a，g′(x)=x-

1

x

，由此求出當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有極小值g（1）=-2．由g（x）與f（x）在同一點(diǎn)處有相同的極值，知f（1）=-2，且f′（1）=0，從而能求出a．
（2）對(duì)一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立等價(jià)于a≤(2lnx+

3

x

+x)min，記t（x）=2lnx+

3

x

+x，x＞0，則t′(x)=(2lnx+

3

x

+x)′=

x2+2x-3

x2

，由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）當(dāng)x≥1時(shí)，總有G(x)≤

1

2

x2成立，等價(jià)于當(dāng)x≥1時(shí)，總有G(x)≤

1

2

x2成立≥1時(shí)，總有xlnx≤

1

2

x2-

1

2

．設(shè)F（x）=xlnx+

1

2

-

1

2

x2，x≥1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能夠證明故當(dāng)x≥1時(shí)，總有G(x)≤

1

2

x2成立．

解答：（1）解：∵f(x)=x3-ax ， g(x)=

1

2

x2-lnx-

5

2

，
∴f′（x）=3x²-a，g′(x)=x-

1

x

，
令g′(x)=x-

1

x

=0，得x=1，（x=-1舍）
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）0．
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）有極小值g（1）=-2．
∵g（x）與f（x）在同一點(diǎn)處有相同的極值，
∴f（1）=-2，且f′（1）=0，即

1-a=-2 3-a=0

，
解得a=3．
（2）解：不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3轉(zhuǎn)化為：
x3-ax≥2x(

1

2

x2-lnx-

5

2

)-x2+5x-3，
化簡(jiǎn)，得ax≤2xlnx+x²+3，
∵x∈（0，+∞），
∴a≤2lnx+

3

x

+x，
∵對(duì)一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥2x•g（x）-x²+5x-3恒成立，
∴a≤(2lnx+

3

x

+x)min，
記t（x）=2lnx+

3

x

+x，x＞0，則t′(x)=(2lnx+

3

x

+x)′=

2

x

-

3

x2

+1=

x2+2x-3

x2

，
令t′（x）=0，得

x2+2x-3

x2

=0，解得x=1．
在（0，1）上，t′（x）＜0；在（1，+∞）上，t′（x）＞0．
故當(dāng)x=1時(shí)，t（x）有極小值為4，
故a∈（-∞，4]．
（3）證明：∵g（x）=

1

2

x2-lnx-

5

2

，
∴G(x)=

1

2

x3-

5

2

x-xg(x)+

1

2

=

1

2

x3-

5

2

x-

1

2

x3+xlnx+

5

2

x+

1

2

=xlnx+

1

2

，
∵當(dāng)x≥1時(shí)，總有G(x)≤

1

2

x2成立，
∴當(dāng)x≥1時(shí)，總有G(x)≤

1

2

x2成立≥1時(shí)，總有xlnx≤

1

2

x2-

1

2

．
設(shè)F（x）=xlnx+

1

2

-

1

2

x2，x≥1
則F′（x）=lnx+1-x，令F′（x）=0，得x=1．
當(dāng)x＞1時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，
∴F（x）=xlnx+

1

2

-

1

2

x2≤0．
故當(dāng)x≥1時(shí)，總有G(x)≤

1

2

x2成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、構(gòu)造法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．