Question

2．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點．
（Ⅰ）求證：AE⊥PC；
（II）若直線AC與平面PCD所成的角為30°，求$\frac{CD}{AD}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要證明AE⊥平面PCD，只要證明AE?面PAD，且平面PAD⊥平面PDC即可．
（Ⅱ）直線AC與平面PCD所成的角為∠ACE，可求出正△PAD中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，由此能求出$\frac{CD}{AD}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵面PAD∩面ABCD=AD，面ABCD⊥面PAD，
∴CD⊥面PAD，
∵CD?面PDC，∴面PDC⊥面PAD，
CD?面ABCD，正三角形PAD中，E為PD的中點，
∴AE⊥PD，
又面PDC∩面PAD=PD，AE?面PAD，
∴AE⊥平面PCD．
解：（Ⅱ）∵AE⊥平面PCD，∴直線AC與平面PCD所成的角為∠ACE．
∴Rt△ACE中，∠ACE=30°，AC=2AE，
又正△PAD中，AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∴AC=$\sqrt{3}$，又矩形ABCD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$，由$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$AD，
解得CD=$\sqrt{2}$AD，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，考查了空間想象能力和推論論證能力，屬于基本知識的考查．