Question

 如圖1­5，四棱柱ABCD ­ A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.過A₁，C，D三點(diǎn)的平面記為α，BB₁與α的交點(diǎn)為Q.

圖1­5

(1)證明：Q為BB₁的中點(diǎn)；

(2)求此四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積之比；

(3)若AA₁＝4，CD＝2，梯形ABCD的面積為6，求平面α與底面ABCD所成二面角的大�。�

Answer 1

解： (1)證明：因?yàn)?i>BQ∥AA₁，BC∥AD，

BC∩BQ＝B，AD∩AA₁＝A，

所以平面QBC∥平面A₁AD，

從而平面A₁CD與這兩個(gè)平面的交線相互平行，

即QC∥A₁D.

故△QBC與△A₁AD的對(duì)應(yīng)邊相互平行，

于是△QBC∽△A₁AD，

所以＝＝＝，即Q為BB₁的中點(diǎn)．

(2)如圖1所示，連接QA，QD.設(shè)AA₁＝h，梯形ABCD 的高為d，四棱柱被平面α所分成上下兩部分的體積分別為V_上和V_下，BC＝a，則AD＝2a.

圖1

V三棱錐Q ­A₁AD＝×·2a·h·d＝ahd，

所以V_下＝V三棱錐Q ­A₁AD＋V_{四棱錐Q ­ABCD}＝ahd.

又V四棱柱A₁B₁C₁D₁ ­ABCD＝ahd，

所以V_上＝V四棱柱A₁B₁C₁D₁ ­ABCD－V_下＝ahd－ahd＝ahd，故＝.

(3)方法一：如圖1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A₁E.

又DE⊥AA₁，且AA₁∩AE＝A，

所以DE⊥平面AEA₁，所以DE⊥A₁E.

所以∠AEA₁為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角．

因?yàn)?i>BC∥AD，AD＝2BC，所以S_△ADC＝2S_△BCA.

又因?yàn)樘菪?i>ABCD的面積為6，DC＝2，

所以S_△ADC＝4，AE＝4.

于是tan∠AEA₁＝＝1，∠AEA₁＝.

故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為.

方法二：如圖2所示，以D為原點(diǎn)，DA，分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)∠CDA＝θ，BC＝a，則AD＝2a.

因?yàn)?i>S_{四邊形ABCD}＝·2sin θ＝6，

所以a＝.

圖2