Question

2．已知實數(shù)x，y滿足方程x²+y²-4x+1=0．
（1）求$\frac{y}{x}$的最值；
（2）求y-x的最值；
（3）求x²+y²的最值．

Answer 1

分析 （1）整理方程可知，方程表示以點（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓，設(shè)$\frac{y}{x}$=k，進而根據(jù)圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
（2）令y-x=t，得到動直線l：x-y+t=0，將直線l進行平移，當(dāng)l與圓C：（x-2）²+y²=3相切時，t達到最大或最小值．由此結(jié)合點到直線的距離公式加以計算，即可得到t的最大值和最小值，從而求出y-x的最大值．
（3）滿足x²+y²-4x+1=0的點P（x，y）在以C（2，0）為圓心，半徑為$\sqrt{3}$的圓上，而x²+y²=|OP|²．因此當(dāng)P、O、C三點共線時，|OP|達到最大值或最小值．由此結(jié)合點到直線的距離公式，即可求出x²+y²的最大值和最小值；

解答 解：（1）實數(shù)x，y滿足x²+y²-4x+1=0，可化成（x-2）²+y²=3表示以點（2，0）為圓心，以$\sqrt{3}$為半徑的圓．
設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值，
由$\frac{|2k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k²=3．
∴k_max=$\sqrt{3}$，k_min=-$\sqrt{3}$，
則$\frac{y}{x}$的最大值為$\sqrt{3}$，最小值為-$\sqrt{3}$．
（2）令y-x=t，即x-y+t=0對應(yīng)直線l
將直線l平移，當(dāng)l與圓C：（x-2）²+y²=3相切時，t達到最大或最小值
由d=$\frac{|2+t|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，得t=-2±$\sqrt{6}$
∴t的最小值為-2-$\sqrt{6}$，最大值為2+$\sqrt{6}$；
（3）滿足x²+y²-4x+1=0的點P（x，y）在以C（2，0）為圓心，半徑為$\sqrt{3}$的圓上，x²+y²=|OP|²，
∵當(dāng)P、O、C三點共線時，|OP|達到最大值或最小值
∴當(dāng)圓C上的點P在OC延長線上時，|OP|的最大值為|OC|+$\sqrt{3}$=2+$\sqrt{3}$，
得到x²+y²的最大值為（2+$\sqrt{3}$）²=7+4$\sqrt{3}$；
當(dāng)圓C上的點P在線段OC上時，|OP|的最小值為|OC|-$\sqrt{3}$=2-$\sqrt{3}$
得到x²+y²的最大值為（2-$\sqrt{3}$）²=7-4$\sqrt{3}$．
綜上所述，x²+y²的最大值為7+4$\sqrt{3}$；最小值為7-4$\sqrt{3}$．

點評 本題給出滿足二次方程的實數(shù)x、y，求最值，著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、斜率的計算公式、點到直線的距離公式和二元函數(shù)最值的求法等知識，屬于中檔題．