Question

5．已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0），直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對(duì)稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程$2{[{f（\frac{x}{2}+\frac{π}{6}）}]^2}$+mcosx+2=0在x∈（0，$\frac{π}{2}$）有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)是三角函數(shù)的性質(zhì)求出ω的值，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用參數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的取值范圍即可．

解答 解：（1）由題意得T=π，則$\frac{2π}{ω}=π$，解得ω=1，
∴$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
解得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是$[-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ]，k∈Z$（4分）；
（2）原方程可化為2cos²x+mcosx+2=0，在$x∈（0，\frac{π}{2}）$有解，
參變分離可得$m=-2（cosx+\frac{1}{cosx}）$，
令cosx=t，t∈（0，1），可得$m=-2（t+\frac{1}{t}）$，
顯然當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，$t+\frac{1}{t}＞2$，
∴$m=-2（t+\frac{1}{t}）＜-4$，
即m＜-4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)解析式以及三角函數(shù)性質(zhì)的考查，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．