Question

10．S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
（1）若a_n+1=a_n+a_n-1（n≥2），且a₇=8，求S₁₀；
（2）a_n=$\frac{1}{3}$（2ⁿ-（-1）ⁿ），b_n=a_na_n+1，b_n-S_n•h＞0對(duì)任意正整數(shù)n都成立，求h的范圍．

Answer 1

分析 （1）把數(shù)列的前10項(xiàng)分別表示出來，得出5a₁+8a₂=8，S₁₀=55a₁+88a₂，整體求解即可．
（2）先表示出b_n，S_n，分n為正奇數(shù)，正偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，從b_n-hS_n＞0中分離出參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最小值即可，借助數(shù)列的單調(diào)性可求最值

解答 解：（1）a₁，a₂，a₁+a₂，a₁+2a₂，2a₁+3a₂，3a₁+5a₂，5a₁+8a₂，8a₁+13a₂，13a₁+21a₂，21a₁+34a₂，
∵a₇=8，S₁₀=55a₁+88a₂，
∴5a₁+8a₂=8，
即S₁₀=88；
（2）∵a_n=$\frac{1}{3}$（2ⁿ-（-1）ⁿ），b_n=a_na_n+1，
∴b_n=$\frac{1}{9}$[2ⁿ-（-1）ⁿ][2ⁿ⁺¹-（-1）ⁿ⁺¹]
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=$\frac{1}{3}${（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=$\frac{1}{3}×$2ⁿ⁺¹$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{6}$×（-1）ⁿ⁺¹，
①當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，b_n-hS_n=$\frac{1}{9}$[2ⁿ+1][2ⁿ⁺¹-1]-$\frac{1}{3}$h（2ⁿ⁺¹-1）＞0對(duì)任意n∈N^*都成立，
因?yàn)?ⁿ⁺¹-1＞0，所以$\frac{1}{9}$（2ⁿ+1）$-\frac{h}{3}$＞0，即h$＜\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）對(duì)任意正奇數(shù)n都成立，
又因?yàn)閿?shù)列{$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）}遞增，
所以當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{1}{3}$（2ⁿ+1）有最小值1，所以λ＜1；
②當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，b_n-hS_n=$\frac{1}{9}$（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹+1）-$\frac{1}{3}$（2ⁿ⁺¹-2）h＞0，即$\frac{1}{9}$（2ⁿ-1）（2ⁿ⁺¹+1）-$\frac{2}{3}$（2ⁿ-1）h＞0對(duì)任意n∈N^*都成立，
又因?yàn)?ⁿ-1＞0，所以$\frac{1}{9}$（2ⁿ⁺¹+1）$-\frac{2}{3}$h＞0，即h$＜\frac{1}{6}$（2ⁿ⁺¹+1）對(duì)任意正偶數(shù)n都成立，
又因?yàn)閿?shù)列{$\frac{1}{6}$[2ⁿ⁺¹+1]}遞增，
所以當(dāng)n=2時(shí)，$\frac{1}{6}$[2ⁿ⁺¹+1]有最小值$\frac{3}{2}$，所以h$＜\frac{3}{2}$；
綜上所述，h的取值范圍是（-∞，1）．
故實(shí)數(shù)h的范圍：（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng) 題考查數(shù)列求和、數(shù)列與不等式的綜合，考查轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，本題運(yùn)算量較大