Question

如圖，在三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，AC=3，CC₁⊥平面ABC，BC=4，AB=5，AA₁=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求證：AC₁∥平面CDB₁；
（3）求三棱錐C₁-CDB₁的體積．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理的逆定理可得AC⊥BC．利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可得CC₁⊥AC，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）利用直三棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理即可得出ED∥AC₁，再利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（3）取BC的中點(diǎn)M，連接DM，利用三角形的中位線(xiàn)定理可得DM

∥

.

1

2

AC，再利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理可得DM⊥平面BCC₁B₁．利用三棱錐的體積計(jì)算公式即可得出．

解答：（1）證明：∵底面三邊長(zhǎng)AC=3，BC=4，AB=5．
∴AB²=AC²+BC²，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．
∵CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC．
∴AC⊥CC₁．
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AC⊥BC₁．
（2）證明：設(shè)CB₁∩BC₁=E，連接ED．
由正方形BCC₁B₁可得E為BC₁的中點(diǎn)，又D為AB的中點(diǎn)，∴AC₁∥ED．
∵ED?平面CDB₁，AC₁?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁．
（3）解：取BC的中點(diǎn)M，連接DM，則DM

∥

.

1

2

AC，
∵AC⊥平面BCC₁B₁，∴DM⊥平面BCC₁B₁．
∴VC1-CDB1=VD-CB1C1=

1

3

S△CB1C1×DM=

1

3

×

1

2

×4×4×

3

2

=4．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握勾股定理的逆定理、線(xiàn)面垂直的判定和性質(zhì)定理、直三棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理、線(xiàn)面平行的判定定理、三棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．