Question

已知S_n為數(shù)列a_n的前n項(xiàng)和，且2a_n=S_n+n．
（I）若b_n=a_n+1，證明：數(shù)列b_n是等比數(shù)列；
（II）求數(shù)列S_n的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

（I）n=1時(shí)，2a₁=S₁+1，
∴a₁=1．
由題意得2a_n=S_n+n，2a_n+1=S_n+1+（n+1），
兩式相減得2a_n+1-2a_n=a_n+1+1
即a_n+1=2a_n+1．
于是a_n+1+1=2（a_n+1），
即b_n+1=2b_n，
又b₁=a₁+1=2．
所以數(shù)列b_n是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（II）由（I）知，b_n=2×2^n-1=2ⁿ，a_n=b_n-1=2ⁿ-1，
由2a_n=S_n+n，得S_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
∴T_n=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-（1+2+3++n）-2n
=

22•(1-2n)

1-2

-

n(n+1)

2

-2n=2n+2-4-

5

2

n-

1

2

n2.