Question

【題目】已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn， 且 ．

（1）求的值；

（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的所有值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；（3）0

【解析】

（1）令n=1,n=2列關(guān)于的方程求解即可；（2）因?yàn)?/span>， ①，②，②①得 ③

進(jìn)一步有④，③④得，檢驗(yàn)n=1 成立，即可證明是等比數(shù)列（3）由（2）將代入不等式，由對(duì)任意的恒成立，所以適合，討論，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)恒成立，和，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)恒成立，通過證明，單調(diào)減，，即（*），說明上面兩個(gè)不等式不恒成立，推得矛盾，即可求得只有合適

（1）因?yàn)?/span>，．

令，得，因?yàn)?/span>，所以．

令，得，即，

因?yàn)?/span>，所以．

（2）因?yàn)?/span>， ①

所以， ②

②①得，，

因?yàn)?/span>，所以，③

所以， ④

當(dāng)時(shí)，③④得，，即，

因?yàn)?/span>，所以．

又由（1）知，，，所以，

所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．

（3）由（2）知，．

因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，

所以的值介于和之間．

因?yàn)?/span>對(duì)任意的恒成立，所以適合．

若，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，從而有恒成立．

記，因?yàn)?/span>，

所以，即，所以（*），

從而當(dāng)時(shí)，有，所以不符．

若，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，從而有恒成立．

由（*）式知，當(dāng)時(shí)，有，所以不符．

綜上，實(shí)數(shù)的所有值為0．