Question

一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的小球，分別編有一個(gè)1號(hào)，兩個(gè)2號(hào)，m個(gè)3號(hào)和n個(gè)4號(hào)．已知從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)4號(hào)球的概率是

2

3

．若袋中共有10個(gè)球，
（i）求4號(hào)球的個(gè)數(shù)；
（ii）從袋中任意摸出2個(gè)球，記得到小球的編號(hào)數(shù)之和為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析：（i）由題意可得：從袋中10個(gè)球中任意摸出2個(gè)球，共有的取法有C₁₀²，至少有1個(gè)4號(hào)球的取法有C_n²+C_n¹C_10-n¹，結(jié)合題意即可求出答案．
（ii）由題意可得：隨機(jī)變量ξ可能取的值為3，4，5，6，7，8，根據(jù)題意分別求出其發(fā)生的概率，進(jìn)而求出離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（i）由題意可得：從袋中10個(gè)球中任意摸出2個(gè)球，共有的取法有C₁₀²，
至少有1個(gè)4號(hào)球的取法有C_n²+C_n¹C_10-n¹，
因?yàn)橹辽俚玫?個(gè)4號(hào)球的概率是

2

3

，即

C n 2 + C 1 n C 1 10-n C 2 10 = 2 3

，
所以n=4．
（ii）由題意可得：隨機(jī)變量ξ可能取的值為3，4，5，6，7，8，
所以由題意可得：P(ξ=3)=

2

45

，p(ξ=4)=

4

45

，p(ξ=5)=

10

45

=

2

9

，p(ξ=6)=

11

45

，p(ξ=7)=

12

45

=

4

15

，p(ξ=8)=

6

45

=

2

15

，
所以ξ的分布列為：

ξ	3	4	5	6	7	8
p	2 45	4 45	10 45	11 45	12 45	6 45

所以ξ的數(shù)學(xué)期望為：Eξ=6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望．