Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy和極坐標(biāo)系中，極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸非負(fù)半軸重合，直線l過點(diǎn)（1，1），傾斜角α的正切值為-$\frac{3}{4}$，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$）．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程，并將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系，若直線l與曲線C相交，求直線l被曲線C截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）tan α=-$\frac{3}{4}$＜0，0＜α＜π，從而sin α=-$\frac{3}{4}$cos α，進(jìn)而cos α=-$\frac{4}{5}$，sin α=$\frac{3}{5}$，由此能求出直線l的參數(shù)方程；由ρ=4$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），得ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，由ρ²=x²+y²，ρcos θ=x，ρsin θ=y，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．
（2）由點(diǎn)（1，1）在圓x²+y²-4x-4y=0內(nèi)部，知直線l與曲線C相交．設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，將$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{4}{5}t\\ y=1+\frac{3}{5}t\end{array}$（t為參數(shù)）代入x²+y²-4x-4y=0，整理得t²+$\frac{2}{5}$t-6=0，由此能求出直線l被曲線C截得的弦長．

解答 解：（1）由題知tan α=-$\frac{3}{4}$＜0，0＜α＜π，∴$\frac{π}{2}$＜α＜π，sin α=-$\frac{3}{4}$cos α，
代入sin²α+cos²α=1，得$\frac{9}{16}co{s}^{2}α$+cos²α=1，
解得cos α=-$\frac{4}{5}$，∴sin α=$\frac{3}{5}$，∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{4}{5}t\\ y=1+\frac{3}{5}t\end{array}$（t為參數(shù)）．（3分）
由ρ=4$\sqrt{2}$sin（$θ+\frac{π}{4}$），得ρ=4sin θ+4cos θ，
即ρ²=4ρsin θ+4ρcos θ，
由ρ²=x²+y²，ρcos θ=x，ρsin θ=y，得x²+y²-4x-4y=0，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4x-4y=0．（5分）
（2）∵1²+1²-4×1-4×1=-6＜0，∴點(diǎn)（1，1）在圓x²+y²-4x-4y=0內(nèi)部，
∴直線l與曲線C相交．（7分）
設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)M，N對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
將$\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{4}{5}t\\ y=1+\frac{3}{5}t\end{array}$（t為參數(shù)）代入x²+y²-4x-4y=0，整理得t²+$\frac{2}{5}$t-6=0，
∴t₁+t₂=-$\frac{2}{5}$，t₁t₂=-6，
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{2}{5}）^{2}-4×（-6）}$=$\frac{2\sqrt{151}}{5}$，
∴直線l被曲線C截得的弦長為$\frac{2\sqrt{151}}{5}$．（10分）

點(diǎn)評 本題考查直線參數(shù)方程的求法，考查曲線的直角坐標(biāo)方程的求法，考查弦長的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．